« Il débute son speech ». C'est la surprenante citation qu'a choisie l'équipe du Petit Robert 2016 pour illustrer le fait que le verbe « débuter » est parfois utilisé de façon transitive, c'est-à-dire suivi d'un complément direct. L'ouvrage prend soin de mentionner qu'il s'agit là d'un emploi critiqué.

En effet, l'Office québécois de la langue française précise que « ce qui distingue essentiellement les verbes commencer et débuter, c’est que le premier peut s’employer avec un complément d’objet direct et l’autre non. »

Allons-y avec des exemples.

On peut écrire :
- « La formation débutera à 9 h. » (Elle débutera quand? À 9 h)
- « L'hiver a débuté tard cette année. » (Il a débuté quand? Tard.)
- « Le président de la banque a débuté comme caissier. » (Il a débuté en tant que ou comme quoi?)

Aucune de ces phrases ne contient de complément direct; elles sont donc correctement construites.

Cela dit, on ne peut pas écrire « Il débute son speech » pour deux raisons :
1)  Parce que le mot « speech » est utilisé ici comme complément direct : Il débute quoi? Un speech.
2)  Parce que le mot « speech » est un anglicisme que l'on peut remplacer facilement par son équivalent français « discours » : « Il commence son discours. »

Vous trouverez plus de détails sur la distinction entre « commencer » et « débuter » dans cet article de la Banque de dépannage linguistique : 
http://bit.ly/1N5Y0Ls.